Die Originalversion von diese Geschichte erschien in Quanta-Magazin.
Im Jahr 1917 stellte der japanische Mathematiker Sōichi Kakeya etwas vor, das zunächst wie eine lustige Übung in Geometrie schien. Legen Sie eine unendlich dünne, zentimeterlange Nadel auf eine ebene Fläche und drehen Sie sie dann so, dass sie abwechselnd in alle Richtungen zeigt. Was ist der kleinste Bereich, den die Nadel abdecken kann?
Wenn Sie es einfach um seinen Mittelpunkt drehen, erhalten Sie einen Kreis. Aber es ist möglich, die Nadel auf erfinderische Weise zu bewegen, sodass Sie viel weniger Platz herausschneiden. Mathematiker haben seitdem eine verwandte Version dieser Frage gestellt, die Kakeya-Vermutung. Bei ihren Versuchen, das Problem zu lösen, haben sie Folgendes aufgedeckt überraschende Verbindungen zur harmonischen AnalyseZahlentheorie und sogar Physik.
„Irgendwie ist diese Geometrie von Linien, die in viele verschiedene Richtungen zeigen, in einem großen Teil der Mathematik allgegenwärtig“, sagte er Jonathan Hickman der Universität Edinburgh.
Aber es ist auch etwas, das Mathematiker immer noch nicht vollständig verstehen. In den letzten Jahren haben sie Variationen der Kakeya-Vermutung bewiesen in einfacheren Einstellungen, aber im normalen, dreidimensionalen Raum bleibt die Frage ungelöst. Eine Zeit lang schien es, als ob bei dieser Version der Vermutung jeglicher Fortschritt ins Stocken geraten wäre, obwohl sie zahlreiche mathematische Konsequenzen hat.
Nun haben zwei Mathematiker sozusagen die Nadel bewegt. Ihr neuer Beweis überwindet ein großes Hindernis das schon seit Jahrzehnten Bestand hat – und die Hoffnung neu entfacht, dass endlich eine Lösung in Sicht sein könnte.
Was ist der kleine Deal?
Kakeya interessierte sich für Mengen in der Ebene, die in jede Richtung ein Liniensegment der Länge 1 enthalten. Es gibt viele Beispiele für solche Sets, das einfachste ist eine Scheibe mit einem Durchmesser von 1. Kakeya wollte wissen, wie das kleinste solche Set aussehen würde.
Er schlug ein Dreieck mit leicht nach innen gebogenen Seiten vor, einen sogenannten Deltamuskel, der die halbe Fläche der Bandscheibe hat. Es stellte sich jedoch heraus, dass es noch viel, viel besser gehen kann.
Der Deltamuskel auf der rechten Seite ist halb so groß wie der Kreis, obwohl sich beide Nadeln in alle Richtungen drehen.Video: Merrill Sherman/Quanta-Magazin
Im Jahr 1919, nur ein paar Jahre nachdem Kakeya sein Problem gestellt hatte, zeigte der russische Mathematiker Abram Besicovitch, dass man eine dornig aussehende Menge mit einer beliebig kleinen Fläche konstruieren kann, wenn man seine Nadeln auf eine ganz bestimmte Weise anordnet. (Aufgrund des Ersten Weltkriegs und der Russischen Revolution gelangte sein Ergebnis mehrere Jahre lang nicht in den Rest der mathematischen Welt.)
Um zu sehen, wie das funktionieren könnte, nehmen Sie ein Dreieck und teilen Sie es entlang seiner Basis in dünnere dreieckige Stücke. Schieben Sie diese Teile dann so herum, dass sie sich so weit wie möglich überlappen, aber in leicht unterschiedliche Richtungen hervorstehen. Indem Sie den Vorgang immer wieder wiederholen – Ihr Dreieck in immer dünnere Fragmente unterteilen und diese sorgfältig im Raum neu anordnen – können Sie Ihr Set so klein machen, wie Sie möchten. Im unendlichen Grenzfall können Sie eine Menge erhalten, die mathematisch keine Fläche hat, aber paradoxerweise dennoch eine Nadel aufnehmen kann, die in eine beliebige Richtung zeigt.
„Das ist irgendwie überraschend und kontraintuitiv“, sagte er Ruixiang Zhang der University of California, Berkeley. „Es ist ein Satz, der sehr pathologisch ist.“