Mathematiker wollten diese Zahlen, die den grundlegendsten Objekten der Zahlentheorie, den Primzahlen, so ähnlich sind, besser verstehen. Es stellte sich heraus, dass 1899 – ein Jahrzehnt vor Carmichaels Ergebnis – ein anderer Mathematiker, Alwin Korselt, eine äquivalente Definition gefunden hatte. Er hatte einfach nicht gewusst, ob es Zahlen gab, die auf die Rechnung passten.
Nach Korselts Kriterium eine Zahl N ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn sie drei Eigenschaften erfüllt. Erstens muss es mehr als einen Primfaktor haben. Zweitens kann sich kein Primfaktor wiederholen. Und drittens für jede Primzahl p das teilt N, p – 1 teilt auch N – 1. Betrachten Sie noch einmal die Zahl 561. Sie ist gleich 3 × 11 × 17, erfüllt also eindeutig die ersten beiden Eigenschaften in Korselts Liste. Um die letzte Eigenschaft zu zeigen, subtrahieren Sie 1 von jedem Primfaktor, um 2, 10 und 16 zu erhalten. Subtrahieren Sie außerdem 1 von 561. Alle drei kleineren Zahlen sind Teiler von 560. Die Zahl 561 ist daher eine Carmichael-Zahl.
Obwohl Mathematiker vermuteten, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt, sind es relativ wenige im Vergleich zu den Primzahlen, was es schwierig machte, sie festzunageln. Dann, 1994, Red Alford, Andreas Granvilleund Carl Pommerance einen Durchbruch veröffentlicht Papier in dem sie schließlich bewiesen, dass es tatsächlich unendlich viele dieser Pseudoprimzahlen gibt.
Leider konnten sie mit den von ihnen entwickelten Techniken nichts darüber sagen, wie diese Carmichael-Zahlen aussahen. Sind sie in Gruppen entlang der Zahlenlinie erschienen, mit großen Lücken dazwischen? Oder konntest du immer in einem kurzen Intervall eine Carmichael-Nummer finden? „Man könnte meinen, wenn man beweisen kann, dass es unendlich viele davon gibt“, sagte Granville, „sollte man sicher auch beweisen können, dass es keine großen Lücken zwischen ihnen gibt, dass sie relativ weit voneinander entfernt sein sollten.“
Insbesondere hofften er und seine Koautoren, eine Aussage zu beweisen, die diese Idee widerspiegelte – und zwar bei einer ausreichend großen Zahl Xes wird immer eine Carmichael-Zahl dazwischen stehen X und 2X. „Das ist eine andere Art auszudrücken, wie allgegenwärtig sie sind“, sagte Jon Grantham, ein Mathematiker am Institute for Defense Analyses, der ähnliche Arbeiten durchgeführt hat.
Aber jahrzehntelang konnte es niemand beweisen. Die von Alford, Granville und Pomerance entwickelten Techniken „ermöglichten es uns zu zeigen, dass es viele Carmichael-Zahlen geben würde“, sagte Pomerance, „aber sie erlaubten uns nicht wirklich, viel Kontrolle darüber zu haben, wo sie sich befinden würden. ”
Dann, im November 2021, öffnete Granville eine E-Mail von Larsen, damals 17 Jahre alt und in seinem Abschlussjahr an der High School. EIN Papier angebracht war – und zu Granvilles Überraschung sah es richtig aus. „Es war nicht die einfachste Lektüre aller Zeiten“, sagte er. „Aber als ich es las, war es ziemlich klar, dass er nicht herumspielte. Er hatte brillante Ideen.“
Pomerance, der eine spätere Version des Werks las, stimmte zu. „Sein Beweis ist wirklich ziemlich weit fortgeschritten“, sagte er. „Es wäre eine Arbeit, auf die jeder Mathematiker wirklich stolz wäre, sie geschrieben zu haben. Und hier ist ein Highschool-Kind, der es schreibt.“