Seit Jahrhunderten Mathematiker haben versucht, die Bewegung von Flüssigkeiten zu verstehen und zu modellieren. Die Gleichungen, die beschreiben, wie Wellen die Oberfläche eines Teichs kräuseln, haben Forschern auch dabei geholfen, das Wetter vorherzusagen, bessere Flugzeuge zu konstruieren und zu charakterisieren, wie Blut durch das Kreislaufsystem fließt. Diese Gleichungen sind täuschend einfach, wenn sie in der richtigen mathematischen Sprache geschrieben werden. Ihre Lösungen sind jedoch so komplex, dass es unerschwinglich schwierig sein kann, selbst grundlegende Fragen zu ihnen zu verstehen.
Die vielleicht älteste und prominenteste dieser Gleichungen, die vor mehr als 250 Jahren von Leonhard Euler formuliert wurde, beschreibt die Strömung einer idealen, inkompressiblen Flüssigkeit: einer Flüssigkeit ohne Viskosität oder innere Reibung, die nicht in ein kleineres Volumen gezwungen werden kann. „Fast alle nichtlinearen Flüssigkeitsgleichungen sind irgendwie von den Euler-Gleichungen abgeleitet“, sagte er Tarek Elgindi, Mathematiker an der Duke University. „Sie sind die Ersten, könnte man sagen.“
Dennoch bleibt vieles über die Euler-Gleichungen unbekannt – einschließlich der Frage, ob sie immer ein genaues Modell des idealen Flüssigkeitsflusses sind. Eines der zentralen Probleme in der Fluiddynamik besteht darin, herauszufinden, ob die Gleichungen jemals versagen und unsinnige Werte ausgeben, die sie unfähig machen, die zukünftigen Zustände einer Flüssigkeit vorherzusagen.
Mathematiker vermuten seit langem, dass es Anfangsbedingungen gibt, die dazu führen, dass die Gleichungen zusammenbrechen. Aber sie konnten es nicht beweisen.
In ein Vordruck Im Oktober online gestellt, haben zwei Mathematiker gezeigt, dass eine bestimmte Version der Euler-Gleichungen tatsächlich manchmal fehlschlägt. Der Beweis stellt einen großen Durchbruch dar – und obwohl er das Problem für die allgemeinere Version der Gleichungen nicht vollständig löst, gibt er Hoffnung, dass eine solche Lösung endlich in Reichweite ist. „Das ist ein erstaunliches Ergebnis“, sagte er Tristan Buckmaster, ein Mathematiker an der University of Maryland, der nicht an der Arbeit beteiligt war. „Es gibt keine Ergebnisse dieser Art in der Literatur.“
Es gibt nur einen Haken.
Der 177-seitige Korrekturabzug – das Ergebnis eines jahrzehntelangen Forschungsprogramms – macht erheblichen Gebrauch von Computern. Dies macht es wohl für andere Mathematiker schwierig, dies zu überprüfen. (Tatsächlich sind sie noch dabei, obwohl viele Experten glauben, dass sich das neue Werk als richtig herausstellen wird.) Es zwingt sie auch, mit philosophischen Fragen darüber zu rechnen, was ein „Beweis“ ist und was er wird wenn der einzig gangbare Weg, solche wichtigen Fragen in Zukunft zu lösen, die Hilfe von Computern ist.
Sichtung der Bestie
Wenn Sie den Ort und die Geschwindigkeit jedes Teilchens in einer Flüssigkeit kennen, sollten die Euler-Gleichungen im Prinzip in der Lage sein, vorherzusagen, wie sich die Flüssigkeit für alle Zeiten entwickeln wird. Aber Mathematiker wollen wissen, ob das wirklich so ist. Vielleicht laufen die Gleichungen in einigen Situationen wie erwartet ab und liefern zu jedem Zeitpunkt präzise Werte für den Zustand der Flüssigkeit, nur damit einer dieser Werte plötzlich ins Unendliche schießt. An diesem Punkt sollen die Euler-Gleichungen zu einer „Singularität“ führen – oder, dramatischer, „explodieren“.
Sobald sie diese Singularität erreichen, können die Gleichungen den Fluss der Flüssigkeit nicht mehr berechnen. Aber „noch vor ein paar Jahren war das, was die Leute konnten, sehr, sehr weit hinter dem zurück [proving blowup],” sagte Charlie FeffermannMathematiker an der Princeton University.
Noch komplizierter wird es, wenn Sie versuchen, eine Flüssigkeit mit Viskosität zu modellieren (wie es fast alle realen Flüssigkeiten tun). Ein Millionen-Dollar-Millennium-Preis des Clay Mathematics Institute wartet auf jeden, der beweisen kann, ob ähnliche Fehler in den Navier-Stokes-Gleichungen auftreten, einer Verallgemeinerung der Euler-Gleichungen, die die Viskosität erklären.