In ihrem Papier online gepostet Ende November 2022 besteht ein wesentlicher Teil des Beweises darin, zu zeigen, dass es größtenteils keinen Sinn macht, darüber zu sprechen, ob ein einzelner Würfel stark oder schwach ist. Buffetts Würfel, von denen keiner der stärksten der Packung ist, sind nicht so ungewöhnlich: Wenn Sie einen Würfel zufällig auswählen, hat das Polymath-Projekt gezeigt, ist es wahrscheinlich, dass er etwa die Hälfte der anderen Würfel schlägt und gegen die andere Hälfte verliert. „Fast jeder Würfel ist ziemlich durchschnittlich“, sagte Gowers.
Das Projekt wich in einer Hinsicht vom ursprünglichen Modell des AIM-Teams ab: Um einige technische Einzelheiten zu vereinfachen, erklärte das Projekt, dass die Reihenfolge der Zahlen auf einem Würfel von Bedeutung ist – so würden beispielsweise 122556 und 152562 als zwei verschiedene Würfel betrachtet. Aber das Ergebnis von Polymath, kombiniert mit den experimentellen Beweisen des AIM-Teams, erzeuge eine starke Vermutung, dass die Vermutung auch im ursprünglichen Modell zutrifft, sagte Gowers.
„Ich war absolut erfreut, dass sie diesen Beweis erbracht haben“, sagte Conrey.
Bei Ansammlungen von vier oder mehr Würfeln hatte das AIM-Team ein ähnliches Verhalten wie bei drei Würfeln vorhergesagt: Zum Beispiel, wenn A schlägt B, B schlägt CUnd C schlägt Ddann sollte es eine ungefähr 50-50-Wahrscheinlichkeit geben D schlägt Anähert sich genau 50-50, wenn die Anzahl der Seiten auf den Würfeln gegen unendlich geht.
Um die Vermutung zu testen, simulierten die Forscher Kopf-an-Kopf-Turniere für Sätze von vier Würfeln mit 50, 100, 150 und 200 Seiten. Die Simulationen folgten ihren Vorhersagen nicht ganz so genau wie im Fall von drei Würfeln, waren aber immer noch nah genug, um ihren Glauben an die Vermutung zu stärken. Aber obwohl die Forscher es nicht bemerkten, trugen diese kleinen Diskrepanzen eine andere Botschaft: Für Sätze von vier oder mehr Würfeln ist ihre Vermutung falsch.
„Wir wollten unbedingt [the conjecture] um wahr zu sein, denn das wäre cool“, sagte Conrey.
Bei vier Würfeln Elisabetta Cornacchia der Eidgenössischen Technischen Hochschule Lausanne und Jan Hązła des African Institute for Mathematical Sciences in Kigali, Ruanda, zeigte in a Papier Ende 2020 online gepostet, dass if A schlägt B, B schlägt CUnd C schlägt DDann D hat eine etwas bessere Chance als 50 Prozent zu schlagen A– wahrscheinlich irgendwo um die 52 Prozent, sagte Hązła. (Wie bei der Polymath-Arbeit verwendeten Cornacchia und Hązła ein etwas anderes Modell als in der AIM-Arbeit.)
Die Erkenntnis von Cornacchia und Hązła ergibt sich aus der Tatsache, dass ein einzelner Würfel zwar in der Regel weder stark noch schwach ist, ein Würfelpaar jedoch manchmal gemeinsame Stärkebereiche haben kann. Wenn Sie zwei Würfel zufällig auswählen, haben Cornacchia und Hązła gezeigt, besteht eine gute Wahrscheinlichkeit, dass die Würfel korrelieren: Sie neigen dazu, gegen dieselben Würfel zu schlagen oder zu verlieren. „Wenn ich Sie bitte, zwei Würfel zu erstellen, die nahe beieinander liegen, stellt sich heraus, dass dies möglich ist“, sagte Hązła. Diese kleinen Korrelationstaschen stoßen die Turnierergebnisse von der Symmetrie weg, sobald mindestens vier Würfel im Bild sind.
Die jüngsten Papiere sind nicht das Ende der Geschichte. Die Arbeit von Cornacchia und Hązła enthüllt nur ansatzweise genau, wie Korrelationen zwischen Würfeln die Symmetrie von Turnieren aus dem Gleichgewicht bringen. In der Zwischenzeit wissen wir jedoch, dass es viele Sätze intransitiver Würfel gibt – vielleicht sogar einen, der subtil genug ist, um Bill Gates dazu zu bringen, zuerst zu wählen.
Ursprüngliche Geschichte Nachdruck mit freundlicher Genehmigung von Quanta-Magazin, eine redaktionell unabhängige Publikation der Simons-Stiftung dessen Aufgabe es ist, das öffentliche Verständnis der Wissenschaft zu verbessern, indem Forschungsentwicklungen und -trends in der Mathematik und den Natur- und Biowissenschaften behandelt werden.