Mathematiker finden verborgene Strukturen in einem gemeinsamen Raumtyp

Im Herbst von 2017, Mehtaab Sawhney, damals Student am Massachusetts Institute of Technology, schloss sich einer Lesegruppe für Hochschulabsolventen an, die sich zum Ziel gesetzt hatte, über ein Semester hinweg eine einzelne Arbeit zu studieren. Aber am Ende des Semesters, erinnert sich Sawhney, beschlossen sie, weiterzumachen, verwirrt über die Komplexität des Beweises. „Es war wirklich erstaunlich“, sagte er. „Es schien einfach völlig da draußen zu sein.“

Das Papier war von Peter Keevash der Universität Oxford. Sein Thema: mathematische Objekte, sogenannte Designs.

Das Studium von Designs lässt sich bis ins Jahr 1850 zurückverfolgen, als Thomas Kirkman, ein Pfarrer in einer Gemeinde im Norden Englands, der sich mit Mathematik beschäftigte, in einer Zeitschrift mit dem Titel „The“ ein scheinbar einfaches Problem stellte Tagebuch für Damen und Herren. Angenommen, 15 Mädchen gehen eine Woche lang jeden Tag in Dreierreihen zur Schule. Können Sie sie arrangieren? so dass sich im Laufe dieser sieben Tage nie zwei Mädchen mehr als einmal in derselben Reihe befinden?

Bald stellten Mathematiker eine allgemeinere Version von Kirkmans Frage: Wenn ja N Elemente im Set (unsere 15 Schulmädchen), können Sie diese jederzeit in Gruppen nach Größe sortieren k (Dreierreihen), so dass jedes kleinere Set der Größe entspricht T (jedes Mädchenpaar) in genau einer dieser Gruppen vorkommt?

Solche Konfigurationen, bekannt als (N, k, T)-Designs wurden seitdem verwendet, um Fehlerkorrekturcodes zu entwickeln, Experimente zu entwerfen, Software zu testen und Sportrunden und Lotterien zu gewinnen.

Aber es wird auch äußerst schwierig, sie zu konstruieren k Und T größer werden. Tatsächlich haben Mathematiker noch kein Design mit einem Wert von gefunden T größer als 5. Und so war es eine große Überraschung, als Keevash im Jahr 2014 zeigte dass, selbst wenn Sie nicht wissen, wie man solche Designs baut, sie existieren immerso lange wie N groß genug ist und einige einfache Bedingungen erfüllt.

Jetzt Keevash, Sawhney und Ashwin Sahein Doktorand am MIT, haben gezeigt, dass noch schwer fassbare Objekte, sogenannte Subraumdesigns, gibt es auch immer. „Sie haben die Existenz von Objekten bewiesen, deren Existenz überhaupt nicht offensichtlich ist“, sagte er David Conlonein Mathematiker am California Institute of Technology.

Dazu mussten sie Keevashs ursprünglichen Ansatz – der eine fast magische Mischung aus Zufälligkeit und sorgfältiger Konstruktion beinhaltete – überarbeiten, um ihn in einer viel restriktiveren Umgebung zum Laufen zu bringen. Und so sah sich Sawhney, der jetzt am MIT promovierte, mit der Arbeit konfrontiert, die ihn nur ein paar Jahre zuvor verblüfft hatte. „Es hat wirklich sehr, sehr viel Spaß gemacht, die Techniken vollständig zu verstehen und sie wirklich zu ertragen, durchzuarbeiten und weiterzuentwickeln“, sagte er.

„Jenseits dessen, was jenseits unserer Vorstellungskraft liegt“

Seit Jahrzehnten übersetzen Mathematiker Probleme über Mengen und Teilmengen – wie die Designfrage – in Probleme über sogenannte Vektorräume und Unterräume.

Ein Vektorraum ist eine besondere Art von Menge, deren Elemente – Vektoren – auf viel starrere Weise miteinander in Beziehung stehen, als dies bei einer einfachen Ansammlung von Punkten möglich ist. Ein Punkt zeigt Ihnen, wo Sie sich befinden. Ein Vektor sagt Ihnen, wie weit und in welche Richtung Sie sich bewegt haben. Sie können addiert und subtrahiert, vergrößert oder verkleinert werden.