Ein paar Minuten in einen Vortrag 2018 an der University of Michigan, Ian Tobasco nahm ein großes Stück Papier und zerknüllte es zu einem scheinbar ungeordneten Ball aus Chaos. Er hielt es hoch, damit das Publikum es sehen konnte, drückte es zur Sicherheit zusammen und breitete es dann wieder aus.
“Ich bekomme eine wilde Masse von Falten, die entstehen, und das ist das Rätsel”, sagte er. „Was unterscheidet dieses Muster von einem anderen, geordneteren Muster?“
Dann hielt er ein zweites großes Stück Papier hoch – dieses vorgefaltete zu einem berühmten Origami-Muster aus Parallelogrammen, das als Miura-ori bekannt ist – und drückte es flach. Die Kraft, die er auf jedes Blatt Papier aufwendete, sei ungefähr gleich, sagte er, aber die Ergebnisse hätten unterschiedlicher nicht sein können. Das Miura-ori wurde fein säuberlich in geometrische Regionen unterteilt; der zerknitterte Ball war ein Durcheinander aus gezackten Linien.
„Man hat das Gefühl, das hier“, sagte er und deutete auf die verstreute Anordnung von Falten auf dem zerknitterten Laken, „ist nur eine zufällige, ungeordnete Version davon.“ Er deutete auf die ordentliche, ordentliche Miura-ori. “Aber wir haben nicht den Finger darauf gelegt, ob das stimmt oder nicht.”
Um diese Verbindung herzustellen, wäre nichts Geringeres erforderlich, als universelle mathematische Regeln für elastische Muster aufzustellen. Tobasco arbeitet seit Jahren daran und untersucht Gleichungen, die dünne elastische Materialien beschreiben – Dinge, die auf eine Verformung reagieren, indem sie versuchen, in ihre ursprüngliche Form zurückzuspringen. Stoßen Sie einen Ballon fest genug an und es bildet sich ein Sternenmuster aus radialen Falten; Entfernen Sie Ihren Finger und sie werden wieder glatt. Drücken Sie ein zerknittertes Papier zusammen und es wird sich ausdehnen, wenn Sie es loslassen (obwohl es nicht vollständig zerknüllt wird). Ingenieure und Physiker haben untersucht, wie diese Muster unter bestimmten Umständen entstehen, aber für einen Mathematiker legen diese praktischen Ergebnisse eine grundlegendere Frage nahe: Ist es im Allgemeinen möglich zu verstehen, was ein Muster eher auswählt als ein anderes?
Im Januar 2021 veröffentlichte Tobasco ein Papier das hat diese Frage bejaht – zumindest im Fall einer glatten, gekrümmten, elastischen Platte, die in die Ebene gedrückt wird (eine Situation, die eine klare Möglichkeit bietet, die Frage zu untersuchen). Seine Gleichungen sagen voraus, wie scheinbar zufällige Falten „geordnete“ Domänen enthalten, die ein sich wiederholendes, identifizierbares Muster aufweisen. Und er ist Mitautor eines im August veröffentlichten Papiers, das eine neue physikalische Theorie aufzeigt, die auf strenger Mathematik basiert und Muster in realistischen Szenarien vorhersagen könnte.
Bemerkenswerterweise legt Tobascos Arbeit nahe, dass Faltenbildung in ihren vielen Erscheinungsformen als Lösung für ein geometrisches Problem angesehen werden kann. “Es ist ein wunderschönes Stück mathematischer Analyse”, sagte er Stefan Müller des Hausdorff-Zentrums für Mathematik der Universität Bonn in Deutschland.
Es legt zum ersten Mal auf elegante Weise die mathematischen Regeln – und ein neues Verständnis – hinter diesem weit verbreiteten Phänomen dar. „Die Rolle der Mathematik bestand hier nicht darin, eine Vermutung zu beweisen, die Physiker bereits aufgestellt hatten“, sagte er Robert KohnMathematiker am Courant Institute der New York University und Berater der Graduiertenschule von Tobasco, „sondern eher eine Theorie zu liefern, wo es vorher kein systematisches Verständnis gab.“
Ausstrecken
Das Ziel, eine Theorie von Falten und elastischen Mustern zu entwickeln, ist alt. 1894 in einer Rezension in Naturwies der Mathematiker George Greenhill auf den Unterschied zwischen Theoretikern („Was sollen wir denken?“) und den nützlichen Anwendungen hin, die sie erfinden könnten („Was sollen wir tun?“).
Im 19. und 20. Jahrhundert machten Wissenschaftler große Fortschritte bei letzterem und untersuchten Probleme mit Falten in bestimmten Objekten, die deformiert werden. Frühe Beispiele sind das Problem des Schmiedens glatter, gebogener Metallplatten für Seeschiffe und der Versuch, die Bildung von Bergen mit der Erwärmung der Erdkruste in Verbindung zu bringen.